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令和2年11月1回目一陸技「無線工学の基礎」A-1

令和2年11月1回目一陸技「無線工学の基礎」

A-1　次の記述は、図に示す最大値がVa[V]の正弦波交流を半波整流した電圧vのフーリエ級数による展開について述べたものである。▭内に入れるべき字句の正しい組合せを下の番号から選べ。

これって完全な数学の問題ですよね...

図の通り、 $\theta$ は0～πの範囲で、 $v=V_a\sin\theta$ 、π～2πの範囲で $v=0$ です。

なので、 $a_0$ は

$a_0=\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle \int_{0}^{2\pi}vd\theta=\dfrac{V_a}{2\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\theta d\theta$

$=\dfrac{V_a}{2\pi}(-1)[\cos\theta]_{0}^{\pi}=\dfrac{V_a}{\pi}$

Aが求まりました。

次に、Bですがこれも

$a_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{2\pi}v \cos n\theta d\theta=\dfrac{V_a}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\theta \cos n\theta d\theta$

$=\dfrac{V_a}{\pi}\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{0}^{\pi}[\sin (n\theta+\theta)-\sin (n\theta-\theta)] d\theta$

$=-\dfrac{V_a}{2\pi}[\dfrac{\cos (n+1)\theta}{n+1}-\dfrac{\cos (n-1)\theta}{n-1}]_{0}^{\pi}$

もういやになりますわ！

問題文よりnが奇数なら0になる。nが偶数なら...とのことですから $n=2$ を代入して考えましょう（偶数なら同じ答えになりますのでなんでもいいのですが...）

$[\cos (2+1)\theta]_{0}^{\pi}=-2$

$[\cos (2-1)\theta\_{0}^{\pi}=-2$

の関係にありますから先ほどの式は

$=-\dfrac{V_a}{2\pi}(\dfrac{-2}{n+1}-\dfrac{-2}{n-1})$

$=-\dfrac{V_a}{2\pi}\dfrac{1}{(n+1)(n-1)}$

やっとBが求まりました。

次に、Cですが、

$b_n=\dfrac{1}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{2\pi}v \sin\theta d\theta=\dfrac{V_a}{\pi}\displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin\theta \sin\theta d\theta$

$=\dfrac{V_a}{\pi}\dfrac{1}{2}\displaystyle \int_{0}^{\pi}[1-\cos 2\theta] d\theta$

$=\dfrac{V_a}{2\pi}[\theta - \dfrac{\sin 2\theta}{2}]_{0}^{\pi}=\dfrac{V_a}{2}$

です。もう！

答えは1です（イエーイ）