令和3年1月1回目一陸技「無線工学の基礎」A-18

A-18 抵抗と電流の測定値から抵抗で消費する電力を求めるときの測定の誤差率εを表す式として、最も適切なものを下の番号から選べ。ただし、抵抗の真値をR[Ω]、測定誤差をΔR[Ω]、電流の真値をIA]、測定誤差をΔI[A]としたとき、抵抗の誤差率εRをεR=ΔR/R
及び電流の誤差率εIをεI=ΔI/Iとする。また、εR及びεIは十分小さいものとする。

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厄介な問題ですね〜

測定した抵抗値 $R_m$ と測定した電流値 $I_m$ はそれぞれ以下のように表せます。

$R_m=R+\Delta R$
$I_m=I+\Delta I$

よって、電力の測定値 $P_m$ は

$P_m=R_mI_m^2=(R+\Delta R)(I+\Delta I)^2$
よって誤差率は電力の真値をPとすると

$\frac{P_m-P}{P}=\frac{(R+\Delta R)(I+\Delta I)^2-RI^2}{RI^2}$
$=\frac{RI^2+2RI\Delta I+R\Delta I^2+\Delta RI^2+2\Delta R I\Delta I+\Delta R\Delta I^2-RI^2}{RI^2}$
$=\frac{2\Delta I}{I}+\frac{\Delta I^2}{I^2}+\frac{\Delta R}{R}+\frac{2\Delta R\Delta I}{RI}+\frac{\Delta R\Delta I^2}{RI^2}$
$=2\epsilon_I+\epsilon_I^2+\epsilon_R+2\epsilon_R\epsilon_I+\epsilon_R\epsilon_I^2$