令和3年1月1回目一陸技「無線工学の基礎」A-20

A-20 図に示す回路において、交流電圧計V1、V2及びV3の指示値をそれぞれ、V 1,V2及びV3としたとき、負荷で消費する電力P[W]を表す式として、正しいものを下の番号から選べ。ただし、各交流電圧計の内部抵抗の影響はないものとする。

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懐かしい〜

まず、この回路は抵抗と負荷が直列に繋がってます。

それぞれを電圧計 $V_2$ , $V_3$ で測り、回路全体を $V_1$ で計測しています。

そのため、以下の関係が成り立ちます。

$V_1=V_2+V_3$

ここで、直流なら単純な足し算だったのですが、生憎の交流です。なので、ベクトルで考える必要があります。

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図に表すとこんな感じ。

つまり、この $V_1$ を求めればいいです。

因みに、四角形ABDEは平行四辺形ですから、辺DBは辺AEと等しい長さです。また角DBCは $\theta$ になります。

これを踏まえると、三平方の定理より

$V_1^2 = \left(V_2+V_3\cos{\theta}\right)^2 +\left(V_3\sin{\theta}\right)^2$

$=V_2^{2}+2V_2V_3\cos{\theta}+V_3^2\cos{\theta}^2+V_3^2\sin\theta^2$

ですから、色々計算して

$\cos \theta=\frac{V_1^2-V_2^2-V_3^2}{2V_2V_3}$

次に、負荷に流れる電流は

$I=\frac{V_2}{R}$
電力は下記で求まります。

$P=V_3I\cos\theta=V_3\frac{V_2}{R}\frac{V_1^2-V_2^2-V_3^2}{2V_2V_3}$

$=\frac{1}{R}(V_1^2-V_2^2-V_3^2)$

答えは、3です！（イェーイ）

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