令和2年11月2回目 一陸技「無線工学の基礎」A-6

A-6 図に示す回路において、抵抗R2[Ω]に流れる電流I2[A]と交流電圧V[V]との位相差が√2[rad]であるとき、Vの角周波数ωを表す式として、正しいものを下の番号から選べ。

難しそうっすね〜

まず、$R_2,C_2$の合成インピーダンス$Z_{2}$を考えます。直列なので

$Z_2=R_2+\frac{1}{j\omega C_2}$

また、$R_1,R_2,C_2$の合成インピーダンス$Z_{12}$は

$Z_{12}=\frac{(R_2+\frac{1}{j\omega C_2})R_1}{(R_2+\frac{1}{j\omega C_2})+R_1}$

ここで、全体の回路に電圧$V$が掛かってますから、流れる電流$I$は

$I=\frac{V}{\frac{1}{j\omega C_1}+Z_{12}}$

並列回路においてはインピーダンスと電流が反比例しますから

$\frac{I_2}{I}=\frac{R_1}{R_1+Z_2}$
$I_2=\frac{R_1}{R_1+Z_2}I$

$=\frac{R_1}{R_1+Z_2}\times \frac{V}{\frac{1}{j\omega C_1}+Z_{12}}$
$=\frac{R_1V}{\frac{R_1+Z_2}{j\omega C_1}+R_1Z_2}$

ここで、$I_2,V$の位相差が$\pi/2$になるには$I_2$の実部が0であればいいので、

$\frac{R_1+Z_2}{j\omega C_1}+R_1Z_2$

この分母の実部を0にします。

$\frac{R_1+R_2+\frac{1}{j\omega C_2}}{j\omega C_1}+R_1(R_2+\frac{1}{j\omega C_2})$

$=\frac{R_1+R_2}{j\omega C_1}+\frac{R_1}{j\omega C_2}-\frac{1}{\omega^2 C_1C_2}+R_1R_2$

より

$-\frac{1}{\omega^2 C_1C_2}+R_1R_2=0$

であればいいので、

$\omega=\frac{1}{\sqrt{R_1R_2C_1C_2}}$

答えは2です！（イェーイ）